Cách tính phân số, cách cộng, trừ, nhân, chia phân số

Hướng dẫn học viên lớp 4, 5 cách tính nkhô cứng hàng phân số tất cả quy giải pháp, một dạng toán thù nâng cấp vào công tác toán thù đái học tập.

Bạn đang xem: Cách tính phân số, cách cộng, trừ, nhân, chia phân số

Dạng tân oán tính nhanh hao phân số là một trong trong những dạng toán cực nhọc, hay là câu cuối phân loại học viên hơi xuất sắc, thông thường có trong những đề thi học viên giỏi môn Tân oán giành cho học viên cấp 1.

Muốn giải được các bài xích toán tính nhanh hao dãy phân số gồm quy giải pháp học sinh phải biết quan lại gần kề, phân tích, ghi lưu giữ những dạng toán thù nhưng Trung vai trung phong Gia sư thủ đô hà nội share tiếp sau đây.

1. Dãy phân số bao gồm quy chính sách chủng loại số sau vội chủng loại số trước một số ít ko đổi

1.1 Kiến thức ghi nhớ

Quy vẻ ngoài chủng loại số là hàng số tăng theo cấp cho số nhân

Đây là dạng toán liên quan mang đến tính tổng của hàng loạt các phân số mà lại mẫu số phân số sau vội mẫu số phân số trước thuộc một số lần.

1.2 Những bài tập vận dụng

Bài 1: Tính quý hiếm $displaystyle A=frac12+frac14+frac18+frac116+frac132+frac164$

Phân tích: Nhận xét thấy mẫu mã số phân số sau hơn mẫu số phân số tức thì trước là 2 lần. bởi vậy Lúc ta nhân thêm 2 vào thì phân số vùng phía đằng sau đã phát triển thành phân số phía đằng trước.

Ví dụ: $displaystyle 2 imes frac18=frac14$ , như thế sau khi nhân thêm 2 ta đã một loạt những phân số của biểu thức sau thời điểm nhân giống cùng với biểu thức trước lúc nhân, vô cùng dễ dàng để ta giản ước.

Giải:

Ta có:

$displaystyle A=frac12+frac14+frac18+frac116+frac132+frac164$ (1)

$displaystyle 2 extxA=2 imes left( frac12+frac14+frac18+frac116+frac132+frac164 ight)$

$displaystyle 2 imes A=1+frac12+frac14+frac18+frac116+frac132$ (2)

Nhìn vào (1) cùng (2), họ dấn xét thấy sống A và 2xA có nhiều phân số giống nhau, chỉ không giống nhau phân số đầu tiên và phân số sau cuối. Nếu ta trừ 2 vế lẫn nhau thì được:

$displaystyle A=2 imes A-A=left( 1+frac12+frac14+frac18+frac116+frac132 ight)-left( frac12+frac14+frac18+frac116+frac132+frac164 ight)$

$displaystyle A=1-frac164=frac6364$

Bài 2:Tính $displaystyle A=frac13+frac19+frac127+frac181+frac1243+frac1729$

Giải: Ta có: $displaystyle A=frac13+frac19+frac127+frac181+frac1243+frac1729$

⇒ $displaystyle 3 imes extA=1+frac13+frac19+frac127+frac181+frac1243$

Trừ nhì vế ta có:

$displaystyle 3 imes extA- extA=2 imes extA=left( 1+frac13+frac19+frac127+frac181+frac1243 ight)-left( frac13+frac19+frac127+frac181+frac1243+frac1729 ight)$

⇒ $displaystyle 2 imes extA=1-frac1729=frac728729$

⇒ $displaystyle A=frac728729:2=frac364729$

Chụ ý: Tại bài bác này, mẫu số sau gấp mẫu số trước 3 lần, lúc ấy ta nhân thêm 3 để rồi trừ hai vế nhằm mục đích triệt tiêu những phân số trung tâm. Cần chăm chú lúc này hiệu hai vế sẽ là 3 x A – A = 2 x A. Vì cầm cố bọn họ bắt buộc phân chia đến 2 để tìm thấy công dụng A. Học sinch thường ẩu và lúc nháp không cảnh giác phần này phải quên phân tách 2 dẫn đến đáp số không đúng.

Bài 3: Tính giá trị: $displaystyle A=frac23+frac26+frac212+frac224ldots +frac2768$

Ta thấy mẫu mã số của phân số sau của A vội vàng 2 lần chủng loại số của phân số trước của A.

Ta có:

$displaystyle 2 imes extA=2 imes frac23+2 imes frac26+2 imes frac212+ldots +2 imes frac2768=frac43+frac23+frac26+ldots +frac2384$

⇒ $displaystyle A=2 imes A-A=left( frac43+frac23+frac26+ldots +frac2384 ight)-left( frac23+frac26+frac212+frac224ldots +frac2768 ight)$

$displaystyle =frac43-frac2768=frac511384$

Bài 4: Tính quý hiếm biểu thức sau: $displaystyle S=frac32+frac54+frac98+frac1716+ldots +frac10251024$

Phân tích cùng Giải: Tại bài xích này họ quan tiền gần kề tử số với chủng loại số, ta thấy tử số mọi hơn chủng loại tiên phong hàng đầu đơn vị chức năng.

Ta nhấn xét thấy: $displaystyle frac32=1+frac12;frac54=1+frac14;ldots .frac10251024=1+frac11024$

Vậy ta có: $displaystyle extS=1+frac12+1+frac14+1+frac18+ldots +1+frac11024$

Vì số $displaystyle 1024=2 imes 2 imes 2 imes ldots imes 2$ (bao gồm 10 số 2 nhân với nhau) cần ta có:

$displaystyle extS=(1+1+1+ldots +1)+left( frac12+frac14+frac18+ldots +frac11024 ight)$

Đến trên đây, ta đã gửi được về bài xích tân oán cơ bản:

$displaystyle extS=10+ extA$ trong những số đó $displaystyle extA=frac12+frac14+frac18+ldots +frac11024$

Ta có: $displaystyle 2 imes extA=1+frac12+frac14+frac18+ldots +frac1512$

⇒ $displaystyle A=2 imes A-A=left( 1+frac12+frac14+frac18+ldots +frac1512 ight)-left( frac12+frac14+frac18+ldots +frac11024 ight)$

$displaystyle =1-frac11024=frac10231024$

Vậy $displaystyle extS=10+frac10231024=frac112631024$ (tuyệt viết dưới dạng láo lếu số là $displaystyle 10frac10231024$)

1.3 bài tập tự giải:

Bài 5: Tính giá chỉ trị: $displaystyle A=frac12+frac14+frac18+frac116+frac132+frac164+frac1128+frac1256+frac1512+frac11024$

Bài 6: Tính giá bán trị: $displaystyle A=frac32+frac34+frac38+ldots +frac3128$

Bài 7: Tính giá chỉ trị: $displaystyle A=frac65+frac610+frac620+frac640+ldots +frac6640$

Bài 8: Tính giá chỉ trị: $displaystyle A=frac13+frac19+frac127+frac181+ldots +frac12187$

Bài 9: Tính quý giá biểu thức: $ displaystyle S=1+frac15+frac125+frac1125+ldots +frac115625$

Bài 10: Tính quý giá biểu thức sau:

$displaystyle S=frac12+frac13+frac14+frac16+frac18+frac112+frac116+frac124+ldots +frac1256+frac1384$

Gợi ý: Tách thành tổng 2 hàng phân số bao gồm quy luật

Bài 11: Tính quý hiếm biểu thức sau:

$displaystyle S=frac32+frac94+frac258+frac6516+frac16132+ldots +frac102411024$

Gợi ý: Gợi ý cho bài này là hãy quan tâm đến và quan liêu liền kề đề bài thiệt kỹ

Bài 12: Tính quý hiếm biểu thức sau:

$displaystyle S=frac12-frac14+frac18-frac116+ldots +frac1512-frac11024$

Gợi ý: Hãy nhân S x 2 rồi cộng nhì vế.

Bài 13(*): Tính quý hiếm biểu thức:

$displaystyle A=frac12 imes 3+frac13 imes 6+frac16 imes 9+frac19 imes 18+frac118 imes 27+frac127 imes 54$

Bài 14(*): Tính quý giá biểu thức:

$displaystyle A=frac11 imes 4+frac14 imes 2+frac12 imes 8+frac18 imes 4+frac14 imes 16+frac116 imes 8$

Bài 15: Tính quý giá biểu thức sau:

$displaystyle S=frac12+frac34+frac78+frac1516+frac3132+ldots +frac10231024$

2. Dãy phân số gồm quy phép tắc triệt tiêu lẫn nhau

2.1 Kiến thức ghi nhớ

Đây là dạng toán yên cầu tính tổng một hàng những phân số bao gồm quy mức sử dụng, nhưng mà quy nguyên tắc sinh sống chủng loại số là tích các quá số. Tại dạng tân oán này, bọn họ cần so với mẫu mã số thành những thừa số có quy chính sách nhất quyết, nhận xét được mối liên quan giữa tổng, hoặc hiệu những vượt số ở mẫu số và tử số.

Xem thêm:

Bước 1: Phát hiện tại quy điều khoản của mẫu mã số, tử số (hay vẫn là tích của những vượt số được lặp lại).

– Nếu đề bài xích không đến tích, ta hãy phân tích mẫu thành những tích

– Nếu so với rồi nhưng mà không được, ta hãy nhân thêm một số như thế nào kia nhằm so sánh được thành có quy nguyên tắc.

– Mẫu số của phân số này cấp bao nhiên lần của phân số trước?

Bước 2: Nhận xét các thừa số nghỉ ngơi mẫu.

– Hiệu những vượt số nghỉ ngơi mẫu mã ko đổi khác => sử dụng biến đổi: $displaystyle fracb-aa imes b=frac1a-frac1b$. Sau Lúc chuyển đổi sẽ được những phân số tất cả tử số cân nhau, mẫu mã số tất cả tái diễn cùng triệt tiêu cho nhau.

– Tổng các vượt số nghỉ ngơi mẫu số bằng tử số => cần sử dụng thay đổi đổi: $displaystyle fracb+aa imes b=frac1a+frac1b$ sẽ sở hữu lốt +,- xen kẽ, khi đó ta cũng triệt tiêu được các số giống như nhau.

– Nếu mẫu số sau gấp mẫu mã số trước một số lần => ta làm bằng cách nhân thêm đúng mốc giới hạn đó…

– Nếu mẫu mã số rộng (kém) tử số cùng một số ít thì nghĩ về đến cthị trấn đem phần bù. Ví dụ: $displaystyle frac910=1-frac110$

2.2 Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính giá trị của

$displaystyle A=frac11 imes 2+frac12 imes 3+frac13 imes 4+ldots +frac199 imes 100$

Phân tích: Đây là bài hơi cơ bạn dạng. Ta thấy những quá số ở mẫu số bao gồm quy mức sử dụng là $displaystyle 1 imes 2,,,2 imes 3,,,…$

bên cạnh đó 2 – 1 = 1, 3 – 2 = 1, …như vậy hiệu nhị vượt số làm việc chủng loại số của mỗi phân số đa số bằng nhau. Hơn

nữa ta thấy các phân số tại đây đều có sự “liên kết”: $displaystyle 1 imes 2,,,2 imes 3,,,3 imes 4,,,…$

Ta có:

$displaystyle frac11 imes 2=frac2-11 imes 2=frac21 imes 2-frac11 imes 2=frac11-frac12$

$displaystyle frac12 imes 3=frac3-22 imes 3=frac32 imes 3-frac22 imes 3=frac12-frac13$

…

$displaystyle frac199 imes 100=frac199-frac1100$

đó ta có:

$displaystyle A=frac11 imes 2+frac12 imes 3+frac13 imes 4+ldots +frac199 imes 100$

$displaystyle A=frac11-frac12+frac12-frac13+ldots .+frac199-frac1100=1-frac1100=frac99100$

Bài 2: Tính giá trị của

$displaystyle A=frac21 imes 3+frac23 imes 5+frac25 imes 7+ldots +frac299 imes 101$

Phân tích: Ở bài xích này ta thấy mẫu số là các tích có khoảng cách các vượt số là 2 nlỗi 3 – 1 = 2; 5 – 3 = 2; 7 – 5 = 2…

Nhận thấy:

$displaystyle frac21 imes 3=frac3-11 imes 3=frac11-frac13$

$displaystyle frac23 imes 5=frac5-33 imes 5=frac13-frac15$

$displaystyle frac25 imes 7=frac7-55 imes 7=frac15-frac17$

…

$displaystyle frac299 imes 101=frac101-9999 imes 101=frac199-frac1101$

Từ đó ta có:

$displaystyle A=frac21 imes 3+frac23 imes 5+frac25 imes 7+ldots +frac299 imes 101$

$displaystyle A=frac11-frac13+frac13-frac15+frac15-frac17+ldots +frac199-frac1101=frac100101$

Bài 3: Tính cực hiếm biểu thức sau:

$displaystyle A=frac11 imes 4+frac14 imes 7+frac17 imes 10+ldots +frac197 imes 100$

Phân tích: Ở bài xích này ta thấy những chủng loại số đều sở hữu các vượt số tất cả hiệu bởi 3. Tuy nhiên tử số từng phân số là 1. Vì gắng, ta đã làm cho mở ra tử số đó là hiệu nhị thừa số ở mẫu số ⇒ ta nhân thêm 3.

Ta có:

$displaystyle A imes 3=frac31 imes 4+frac34 imes 7+frac37 imes 10+ldots +frac397 imes 100$

$displaystyle A imes 3=frac11-frac14+frac14-frac17+frac17-frac110+ldots +frac197-frac1100$

$displaystyle A imes 3=1-frac1100=frac99100$

$displaystyle A=frac99100:3=frac33100$

*Chụ ý: Cần nhớ là ta đang nhân thêm 3 để xuất hiện dạng tử số bằng hiệu hai thừa số làm việc mẫu số nhằm tiếp nối tách $displaystyle fracb-aa imes b=frac1a-frac1b$ yêu cầu ta đề nghị phân tách cho 3 nhằm tính ra công dụng của A. Với bài thi trắc nghiệm, không hề ít học sinh bao gồm phương thức nháp ko xuất sắc, tính nhđộ ẩm, ẩu mà quên phân chia 3 dẫn cho đưa ra đáp số không nên.

Bài 4: Tính quý giá biểu thức sau: $displaystyle A=frac12+frac16+frac112+ldots +frac19900$

Phân tích: Bài này chưa mang đến mẫu số bên dưới dạng tích những vượt số, ta test nghĩ tới sự việc bóc mẫu mã số thành tựu coi các quá số sinh hoạt chủng loại số tất cả quy luật hay là không.

Ta thấy:

$displaystyle 2=1 imes 2;6=2 imes 3;12=3 imes 4;ldots 9900=99 imes 100$

Bởi vậy mẫu mã số đã được đem về dạng “quen thuộc” như những bài bác sinh sống bên trên.

Xem thêm: Ông Lao Danh Ca Va Con Ca Vang, Ông Lão Đánh Cá Và Con Cá Vàng (Nghe Mp3)

Ta có:

$displaystyle A=frac11 imes 2+frac12 imes 3+frac13 imes 4+ldots +frac199 imes 100$

$displaystyle A=frac11-frac12+frac12-frac13+ldots +frac199-frac1100=1-frac1100=frac99100$

Bài 5: Tính quý giá của biểu thức sau:

Phân tích: Ta test tách bóc chủng loại số: $displaystyle 3=1 imes 3; ext 6=2 imes 3; ext 10=2 imes 5ldots $ ta thấy những mẫu mã số được bóc tách và không xuất hiện thêm quy giải pháp “liên kết” nhau nhỏng nghỉ ngơi những bài xích trước. Muốn nắn triệt tiêu lẫn nhau sau khi bóc, ta phải các chủng loại số tất cả quy biện pháp “liên kết” nhau ví dụ như $displaystyle 1 imes 3; ext 3 imes 5; ext 5 imes 7;ldots $ tức số xuất hiện sau ngơi nghỉ mẫu mã số trước trở nên số xuất hiện thêm đầu sống mẫu số tiếp theo…

Ta demo nhân thêm nhằm lộ diện quy luật:

Ta có:

$displaystyle 2 imes 3=2 imes 3;2 imes 6=3 imes 4;2 imes 10=4 imes 5;ldots 2 imes 4950=99 imes 100$

⇒ ta tất cả quy khí cụ rất gần gũi.

Giải : Ta có

$displaystyle S imes frac12=frac12 imes left( frac13+frac16+frac110+ldots +frac14950 ight)=frac16+frac112+ldots +frac19900=frac12 imes 3+frac13 imes 4+ldots +frac199 imes 100$

⇒ $displaystyle extS imes frac12=frac12-frac13+ldots +frac199-frac1100=frac12-frac1100=frac49100$

⇒ $displaystyle extS=frac49100:frac12=frac4950$

Bài 6: Tính $displaystyle A=frac21 imes 3-frac43 imes 5+frac65 imes 7-ldots -frac2019 imes 21$

Phân tích: Ở bài xích này ta thấy các phân số đều phải có tử số không giống 1, mẫu mã số vẫn bóc tách kết quả những vượt số “liên kết” nhau, mặc dù hiệu nhị thừa số sinh sống mẫu số không bởi tử số. Ta dìm xét thấy tổng nhì thừa số nghỉ ngơi mẫu số số đông cấp 2 lần tử số. Do đó ta nghĩ về đến sự việc nhân thêm 2 để mang về dạng tổng quá số sinh hoạt mẫu số bởi tử số $displaystyle left( fracb+aa imes b=frac1a+frac1b ight)$

Giải:

$displaystyle 2 imes A=frac1+31 imes 3-frac3+53 imes 5+frac5+75 imes 7-ldots -frac19+2119 imes 21$

$displaystyle 2 imes A=left( frac31 imes 3+frac11 imes 3 ight)-left( frac53 imes 5+frac33 imes 5 ight)+left( frac75 imes 7+frac55 imes 7 ight)-ldots -left( frac2119 imes 21+frac1919 imes 21 ight)$

$displaystyle 2 imes A=left( frac11+frac13 ight)-left( frac13+frac15 ight)+left( frac15+frac17 ight)-ldots -left( frac119+frac121 ight)$

$displaystyle 2 imes A=frac11+frac13-frac13-frac15+frac15+frac17-ldots -frac119-frac121=1-frac121=frac2021$

$displaystyle A=frac2021:2=frac1021$

2.3 bài tập từ bỏ giải

Bài 7: Tính giá trị của biểu thức: $displaystyle A=frac21 imes 3+frac23 imes 5+frac25 imes 7+ldots +frac299 imes 101$

Bài 8: Tính quý hiếm của biểu thức: $displaystyle A=frac23 imes 7+frac27 imes 11+frac211 imes 15+ldots +frac299 imes 103$

Bài 9: Tính cực hiếm của biểu thức: $displaystyle A=frac72+frac76+frac712+frac720+frac730+frac742+frac756+frac772+frac790$

Bài 10: Tính quý giá $displaystyle A=frac13+frac16+frac110+frac115+ldots +frac1120$

Bài 11: Tính cực hiếm $displaystyle A=frac53 imes 6+frac56 imes 9+frac59 imes 12+frac512 imes 15+ldots +frac596 imes 99$

Bài 12: Tính $displaystyle A=frac50510 imes 1212+frac50512 imes 1414+frac50514 imes 1616+ldots +frac50596 imes 9898$

Bài 13: Tính $displaystyle A=1-frac56+frac712-frac920+frac1130-frac1342+frac1556-frac1772+frac1990$

Bài 14: Tính $displaystyle A=frac115+frac245+frac3135+frac4345+frac5759$

Bài 15: (Đề thi Tân oán Châu Á Tỉnh Thái Bình Dương APMOPS 2013)

Tính $displaystyle A=10 imes left( frac11 imes 2+frac52 imes 3+frac113 imes 4+frac194 imes 5+ldots +frac899 imes 10 ight)$

Bài 16(*): Tính $displaystyle M=frac1056+frac10140+frac10260+ldots +frac101400$

Bài 17(*): Tính giá trị $displaystyle S=frac15+frac120+frac144+frac177+frac1119+frac1170$

Bài 18: Tính $displaystyle A=frac11+2+frac11+2+3+frac11+2+3+4+ldots +frac11+2+3+ldots +99$

Bài 19(*): Tính giá bán trị: $displaystyle S=frac2+31+2+3+frac2+3+41+2+3+4+ldots +frac2+3+ldots +2013+20141+2+3+ldots +2013+2014$

Bài 20: Tính giá trị $displaystyle A=frac72+frac76+frac712+frac720+frac730+frac742+frac756+frac772+frac790$

Bài 21(*): Tính giá bán trị:

$displaystyle A=frac31 imes 1 imes 2 imes 2+frac52 imes 2 imes 3 imes 3+frac73 imes 3 imes 4 imes 4+frac94 imes 4 imes 5 imes 5+ldots +frac199 imes 9 imes 10 imes 10$

Bài 22(**): Tính giá bán trị:

$displaystyle A=1-frac116+frac1912-frac2929+frac4130-frac5542+frac7156-frac8972+frac10999$